` آزمايشگاه ديناميك ماشين و ارتعاشات آزمايش ارتعاشات آزاد و اجباري سيستم جرم و فنر و ميراگر dynlab@jamilnia.ir www.jamilnia.ir/dynlab
١ تئوري آزمايش سيستمهاي ارتعاشي ميتوانند بر اثر تحريكات دروني يا بيروني به نوسان درآيند. اگر يك سيستم بدون تحريك خارجي به نوسان درآيد به نوسانات حاصله ارتعاشات آزاد (free) ميگويند و اگر توسط يك محرك خارجي به نوسان درآيد به نوسانات حاصله ارتعاشات اجباري (forced) ميگويند. همانگونه كه ميدانيم تمامي سيستمهاي مكانيكي را ميتوان در قالب يك سيستم جرم و فنر و ميراگر مدلسازي و سادهسازي نمود. در يك سيستم مكانيكي جرم به عنوان عامل ل ختي و اينرسي فنر به عنوان عامل ذخيرهكننده انرژي و ميراگر به عنوان عامل مستهلككننده انرژي نقشآفريني مينمايند. در آزمايش حاضر ميخواهيم ارتعاشات آزاد و اجباري را در يك سيستم جرم و فنر و ميراگر به نمايندگي از سيستمهاي مكانيكي بررسي كرده و اثرات هر يك از عوامل را در رفتار ارتعاشي آن تعيين نماييم. اين آزمايش بر روي دستگاهي كه نماي شماتيك آن در شكل ١ نشان داده شده است انجام ميگيرد. در اين دستگاه يك تير (D6) با مقطع مستطيليشكل مورد آزمايش واقع ميشود كه از يك سو به يك تكيهگاه لولايي (D1) و از سوي ديگر به يك فنر متصل ميباشد. ارتفاع اين تير را ميتوان با چرخاندن فلكه متصل به فنر (C1) تنظيم نمود. به تير مورد آزمايش ميتوان يك ميراگر روغني را با پايههاي قابل تنظيم (D2 D3 و D9) متصل كرد. اين ميراگر از يك پيستون غوطهور در روغن تشكيل شده است كه با تنظيم سوراخهاي روي پيستون آن ميتوان ميزان ميرايي را تنظيم نمود. شكل ١ نماي شماتيك دستگاه آزمايش
٢ بر روي تير يك موتور الكتريكي نصب گرديده كه بر روي آن دو صفحه دوار ناميزان قرار گرفتهاند. اين صفحات دوار به واسطه تسمههايي به محور موتور الكتريكي متصل ميباشند تا با چرخش موتور به حركت درآمده و ناميزاني دواري را بر تير مورد آزمايش تحميل نمايند. سرعت و جهت چرخش موتور الكتريكي توسط يك دستگاه كنترل سرعت موتور قابل تنظيم ميباشد. در دستگاه آزمايش به منظور ممانعت از نوسانات شديد و آسيبرسان تير ميتوان از يك قطعه محدود كننده نوسانات (D5) نيز استفاده نمود. در اين دستگاه به منظور ثبت نمودارهاي ارتعاشي تير از يك استوانه گردان استفاده ميشود. موقعيت اين استوانه گردان را ميتوان در انتهاي تير تنظيم و تثبيت كرد و با چسباندن كاغذ بر روي آن و نصب يك قلم در انتهاي تير نمودارهاي ارتعاشي را در حين نوسان تير رسم نمود. در هنگام انجام آزمايش ميتوان اين استوانه گردان را توسط يك موتور الكتريكي با سرعت چرخش ثابت به حركت درآورد و نمودار جايجايي انتهاي تير را نسبت به زمان رسم كرد. در دستگاه مورد آزمايش جرم تير 1.9 kg طول تير 72.5 cm جرم مجموعه موتور و صفحات ناميزان فاصله ميراگر تا لولا 15 cm فاصله موتور تا لولا 31.5 cm و فاصله فنر تا لولا 62.5 cm ميباشد. 3.84 kg ارتعاشات آزاد در ارتعاشات آزاد سيستم بدون محرك خارجي به نوسان درميآيد. در شكل ٢ نماي شماتيك سيستم جرم و فنر و ميراگر مورد آزمايش نشان داده شده است. θ c k x L شكل ٢ نماي شماتيك سيستم جرم و فنر و ميراگر مورد آزمايش با توجه به گشتاورهاي وارده حول تكيهگاه لولايي خواهيم داشت: M = I θ = kx cx (١) در معادله فوق I ممان اينرسي مجموعه تير و موتور حول لولا k سختي فنر x جابجايي تير در محل اتصال فنر فاصله فنر از لولا c ضريب ميراگر x جابجايي تير در محل اتصال ميراگر و فاصله ميراگر از لولا ميباشد.
٣ x با توجه به تشابه مثلثاتي ميتوان جابجاييهاي x و را برحسب تغييرات زاويهاي اندك تير (θ) درنظرگرفت: θ = x L = x = x در معادله فوق x جابجايي انتهاي تير و L طول تير ميباشد. براساس معادله (٢) ميتوان معادله (١) را بازنويسي نمود: (٢) I θ + c θ + k( θ) = 0 (٣) همچنين ممان اينرسي مجموعه تير و موتور حول لولا را ميتوان به صورت زير محاسبه كرد: I = M + 1 3 ml (٤) در معادله فوق M جرم مجموعه موتور و صفحات ناميزان معادله (٤) در معادله (٣) به رابطه زير خواهيم رسيد: فاصله موتور تا لولا و m جرم تير ميباشد. با جايگذاري M + 1 3 ml θ + (c )θ + (k )θ = 0 (٥) معادله فوق را ميتوان به جاي تغييرات زاويهاي برحسب جابجايي نوشت: M + 1 3 ml x L + (c ) x L + (k ) x L = 0 با تقسيم معادله فوق بر L و تعريف جرم معادل ) m) ضريب ميراگر معادل ) c) و سختي فنر معادل ) k) داريم: (٦) m x + c x + k x = 0 (٧) m = M + 1 3 ml c = c L (٩) k = k L (١٠) با تعريف اجزاي معادل معادله ديناميكي به صورت يك معادله ديفرانسيلي مرتبه دوم براي سيستمهاي مكانيكي (٨) متعارف درميآيد كه ميتوان آن را به شكل استاندارد زير نوشت: x + c m x + k m x = 0 اگر معادله فوق را با شكل استاندارد معادلات نوساني مرتبه دوم برحسب فركانس طبيعي ) ω) و ضريب ميرايي (ζ) (١١) مقايسه نماييم خواهيم داشت: x + 2ζω x + ω x = 0 (١٢)
٤ ω = k m 2ζω = c m (١٣) (١٤) c ζ = 2m k (١٥) با توجه به وجود ميرايي در سيستم و كاهش تدريجي دامنه نوسانات نميتوان به صورت عملي فركانس طبيعي را در طول آزمايش اندازهگيري كرد و صرفا ميتوان فركانس طبيعي ميراشده (ω ) و دوره تناوب مربوطه (τ) را تعيين نمود: ω = ω 1 ζ (١٦) τ = 2π ω = 2π ω 1 ζ (١٧) (١٨) همانگونه كه در معادلات فوق ديده ميشود با اندازهگيري فركانس طبيعي ميراشده يا دوره تناوب نميتوان به مقادير صريح ضريب ميرايي و فركانس طبيعي رسيد. براي اين منظور بايد از سازوكار ديگري بهره برد. در سيستمهاي نوساني ميراشونده ميتوان براساس كاهش لگاريتمي دامنههاي نوسان ضريب ميرايي سيستم را به صورت زير بدست آورد: در معادله فوق ln X X = 2πζ 1 ζ X و X دامنههاي دو نوساني متوالي هستند. از معادله فوق ميتوان ضريب ميرايي را محاسبه نمود: ζ = ln X X ln X X + (2π) (١٩) با محاسبه ضريب ميرايي از معادله فوق و استفاده از دوره تناوب نوسانات ميتوان فركانس طبيعي را از معادله (١٧) تعيين كرد و به تبع آن ضريب ميراگر را از معادلات (٩) و (١٤) و سختي فنر را از معادلات (١٠) و (١٣) بدست آورد. اگر نمودار جابجايي انتهاي تير را نسبت به زمان داشته باشيم ميتوانيم از روي نمودار دوره تناوب و كاهش لگاريتمي را اندازهگيري كنيم و مقادير موردنياز را محاسبه نماييم. روش انجام آزمايش پيش از آغاز آزمايش ابتدا با استفاده از فلكه فنر تير را به صورت كاملا افقي تراز مينماييم. سپس كاغذ ترسيم را در جايگاه خود قرار داده و بر روي استوانه گردان با چسب تثبيت ميكنيم. در ادامه قلم ترسيم را بگونهاي در جايگاه خود قرار داده و تثبيت مينماييم كه به ميزان مناسب در تماس با كاغذ باشد و موجب پارگي كاغذ يا اصطكاك زياد نگردد.
٥ براي شروع آزمايش لازم است تا سرعت چرخش استوانه گردان را تعيين كنيم. اين كار به جهت اندازهگيري دقيق دوره تناوب نوسانات ضرورت دارد. براي اين منظور كليد موتور استوانه گردان را روشن ميكنيم و اجازه ميدهيم كه استوانه گردان به مدت ١٠ ثانيه بچرخد. پس از طي اين مدت كليد موتور استوانه گردان را خاموش ميكنيم. با توجه به ثابت بودن تير و عدم نوسان آن يك خط افقي بر روي كاغذ ترسيم ثبت ميشود. با تقسيم طول اين خط بر ١٠ ثانيه سرعت چرخش استوانه گردان را بدست ميآوريم. در اين آزمايش ميخواهيم ارتعاشات آزاد تير را بدون هرگونه تحريك خارجي بررسي نماييم. برايناساس بايد تير را از وضعيت تعادل افقي خارج نموده و رها كنيم. پس از رها كردن نوسانات تير آغاز خواهد شد. با شروع نوسانات استوانه گردان را به چرخش درآورده و جابجايي انتهاي تير را نسبت به زمان ثبت مينماييم. در اين آزمايش ميخواهيم ارتعاشات آزاد را در دو حالت بدون ميراگر و با ميراگر بررسي نماييم. براي حالت اول اتصال ميراگر با تير را با باز كردن مهره و جداكردن پيستون قطع مينماييم و براي حالت دوم اين اتصال را برقرار ميكنيم. بايد توجه داشت كه در حالت اول نيز نوسانات سيستم به دليل استهلاك سازهاي به صورت ميراشونده ميباشد. پس از رسم نوسانات تعداد نوسانات كامل را براي يك طول افقي مشخص ميشماريم و براساس سرعت چرخش استوانه گردان مدت زمان لازم براي طيشدن آن طول افقي مشخص را محاسبه ميكنيم. با تقسيم تعداد نوسانات بر مدت زمان مذكور دوره تناوب نوسانات بدست ميآيد. همچنين از روي نمودار ترسيمي ميتوانيم كاهش لگاريتمي را براي دامنههاي دو نوسان متوالي اندازهگيري نماييم. براي اين منظور طول دو دامنه را نسبت به خط افق با خطكش اندازهگيري نموده و بر هم تقسيم ميكنيم. خواسته آزمايش الف) جدول زير را با استفاده از اندازهگيريهاي انجامشده تكميل نماييد: جدول ١ اندازهگيريهاي آزمايش ارتعاشات آزاد (s) τ حالت X X ζ ω (rad/s) c (N.s/m) c (N.s/m) k (N/m) k (N/m) بدون ميراگر ------- با ميراگر
٦ ارتعاشات اجباري در ارتعاشات اجباري سيستم با يك محرك خارجي به نوسان درميآيد. در اين آزمايش يك موتور الكتريكي با صفحات دوار ناميزان نقش محرك خارجي را براي ارتعاشات اجباري تير مورد آزمايش ايفا مينمايد. موتور الكتريكي به واسطه يك سيستم تسمه و پولي سبب چرخش دو صفحه دوار در دو سوي خود ميشود. بر روي هر كدام از اين صفحات سوراخ خارج از مركزي قرار دارد كه سبب بروز ناميزاني دوار ميگردد. در هنگام چرخش صفحات دوار بر جرم بخشي از هر صفحه كه در سوي ديگر سوراخ واقع بوده و متناظر با جرم كاهشيافته ناشي از سوراخ است نيروي گريز از مركز وارد ميشود. با هربار چرخش صفحات دوار اين نيرو به صورت سينوسي به تير وارد ميگردد و سبب ايجاد ارتعاشات اجباري بر سيستم جرم و فنر و ميراگر مورد آزمايش ميشود. در اين حالت معادله ديفرانسيلي سيستم ارتعاشي به شكل زير درميآيد: m x + c x + k x = F sinωt x + c x + k x = F sinωt m m m ω (٢٠) (٢١) در معادلات فوق فركانس چرخش (سرعت زاويهاي) صفحات دوار ميباشد. اگر فركانس چرخش موتور الكتريكي (n برحسب (rpm را دراختيار داشته باشيم ميتوانيم فركانس چرخش صفحات دوار (ω برحسب با توجه به نسبت تقليل سرعت سيستم تسمه و پولي به صورت زير بدست آوريم: (rad/s ω = n 2π 60 22 72 (٢٢) همچنين در معادله ديفرانسيلي بيانشده صورت زير قابل محاسبه است: F را نيروي بيشينه ناشي از ناميزاني دو صفحه دوار ميباشد كه مقدار آن به F = 2m r ω (٢٣) در معادله فوق m جرم متناظر سوراخ ايجادشده در هر صفحه دوار (برابر با 0.0138) kg و از مركز صفحه دوار (برابر با 58) mm ميباشد. r فاصله مركز سوراخ معادله ديفرانسيلي سيستم ارتعاشي (معادله (٢١)) ناهمگن بوده و داراي جوابهاي عمومي و خصوصي ميباشد. جواب عمومي مربوط به پاسخ گذراي سيستم و جواب خصوصي مربوط به پاسخ حالت پايدار سيستم ميباشد. باتوجه به اهميت بيشتر حالت پايدار براي سيستم ارتعاشي تمركز خود را بر جواب خصوصي معادله ارتعاشي معطوف مينماييم:
٧ x = Xsin(ωt φ) (٢٤) در معادله فوق X دامنه نوسان پايدار و φ زاويه تأخير فاز ميباشد. با توجه به معادله (٢١) و اجزاي معادل اين دو مقدار را ميتوان با استفاده از روابط زير محاسبه نمود: F X = k m ω + c ω (٢٥) φ = tan c ω k m ω (٢٦) اگر نسبت فركانس چرخش صفحات دوار به فركانس طبيعي سيستم را r بناميم خواهيم داشت: r = ω ω F k X = (1 r ) + (2ζr) φ = tan 2ζr (٢٧) (٢٨) (٢٩) 1 r مقدار عبارت صورت معادله (٢٨) را دامنه نوسان استاتيكي ) X) مينامند كه بيانگر جابجايي استاتيكي تير ارتجاعي به واسطه واردشدن نيروي ناميزان بر آن است: X = F k = 2m r ω k (٣٠) (٣١) در سيستمهاي ارتعاشي نسبت دامنه نوسان پايدار به دامنه نوسان استاتيكي را ضريب بزرگنمايي ديناميكي مينامند: X X = 1 (1 r ) + (2ζr) مطابق با معادلات فوق ميتوان با دراختيارداشتن ضريب ميرايي (ζ) و فركانس طبيعي ) ω) دامنه نوسان پايدار (X) و زاويه تأخير فاز (φ) را تعيين نمود و با استفاده از آنها پاسخ حالت پايدار سيستم را براساس معادله (٢٤) پيشبيني كرد. روش انجام آزمايش در اين بخش ارتعاشات اجباري سيستم را در دو حالت بدون ميراگر و با ميراگر (همانند بخش ارتعاشات آزاد) بررسي مينماييم. براي اين منظور در هر دو حالت ابتدا تلاش ميكنيم با تغيير فركانس نيروي محرك خارجي پديده تشديد را براي سيستم ايجاد نموده و به كمك آن فركانس طبيعي سيستم را بدست آوريم. با تغيير فركانس چرخش موتور الكتريكي (n) در دستگاه كنترل سرعت و بروز پديده تشديد ميتوانيم فركانس طبيعي سيستم را از معادله (٢٢) برحسب
٨ راديان بر ثانيه تعيين كنيم. فركانسهاي طبيعي بدستآمده در هر دو حالت آزمايش عليالقاعده بايد برابر با فركانسهاي طبيعي حاصل از ارتعاشات آزاد باشند. در ارتعاشات آزاد اين فركانسها بدون تحريك خارجي بدست ميآيند و در ارتعاشات اجباري با تحريك خارجي مشخص ميگردند. پس از تعيين فركانس طبيعي فركانس تحريك را در سه فركانس مختلف تنظيم مينماييم و نمودار جابجايي انتهاي تير را نسبت به زمان رسم ميكنيم. به كمك اين نمودارها ميتوانيم دامنه نوسان پايدار را در هر فركانس تحريك به صورت عملي اندازهگيري كنيم. اين مقدار را ميتوانيم با مقدار تئوري حاصل از معادله (٢٨) مقايسه نماييم. براي محاسبه مشخصات پاسخ ارتعاشي بايد از مقادير بدستآمده در آزمايش ارتعاشات آزاد (جدول ١) نيز استفاده نمود. خواسته آزمايش الف) جدول زير را با استفاده از اندازهگيريهاي انجامشده تكميل نماييد: جدول ٢ اندازهگيريهاي آزمايش ارتعاشات اجباري تئوري عملي (rpm) n حالت ω (rad/s) r = ω ω X (mm) X (mm) X (mm) X X φ (deg) 550 تشديد بدون ميراگر 650 550 تشديد با ميراگر 650